Упр.47 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 47. Сумма двух сторон треугольника, образующих угол 120°, равна 8 см, а длина третьей стороны составляет 7 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Обозначим неизвестные стороны треугольника через $$AB$$ и $$BC$$. По условию

$$AB+BC=8,$$

$$\angle B=120^\circ,$$

$$AC=7.$$

Применим теорему косинусов к треугольнику $$ABC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B.$$

Так как $$BC=8-AB$$ и $$\cos 120^\circ=-\frac12,$$ получаем

$$7^2=AB^2+(8-AB)^2-2\cdot AB\cdot(8-AB)\cdot\left(-\frac12\right).$$

Тогда

$$49=AB^2+64-16AB+AB^2+8AB-AB^2,$$

$$AB^2-8AB+15=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=8^2-4\cdot 15=64-60=4,$$

$$AB=\frac{8\pm 2}{2}.$$

Отсюда

$$AB_1=3,\quad AB_2=5.$$

Тогда

$$BC_1=8-3=5,\quad BC_2=8-5=3.$$

Следовательно, неизвестные стороны треугольника равны $$3$$ см и $$5$$ см.

Ответ

$$3\text{ см},\ 5\text{ см}.$$