Упр.465 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 465. Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна а, а один из углов — 60°. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

В равнобокой трапеции $$ABCD$$, описанной около окружности, боковые стороны равны, значит $$AB=CD=a$$. Тогда по свойству четырёхугольника, описанного около окружности,

$$BC+AD=AB+CD=2a.$$

Так как трапеция равнобокая, то углы при одном основании равны, а соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до $$180^\circ$$. Если $$\angle A=60^\circ$$, то

$$\angle B=180^\circ-\angle A=120^\circ.$$

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$, поэтому

$$\angle BAO=\frac{1}{2}\angle A=30^\circ,$$

$$\angle ABO=\frac{1}{2}\angle B=60^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. В нём

$$\angle AOB=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ.$$

Тогда

$$BO=AB\cdot \sin 30^\circ=\frac{a}{2},$$

$$AO=AB\cdot \cos 30^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Площадь треугольника $$AOB$$ равна

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}.$$

С другой стороны, если $$H$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на сторону $$AB$$, то