Упр.462 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 462. Точки А(1; 2) и D(1; -6) — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора АС равен 17. Найдите координаты вершин В и С.

Подробный ответ

Пусть $$C(x;y)$$. Тогда по условию $$|AC|=17$$, значит

$$\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=17.$$

Так как $$A(1;2)$$ и $$D(1;-6)$$ — вершины прямоугольника, то сторона $$AD$$ вертикальна. Следовательно, сторона $$BC$$ тоже вертикальна, а значит, у точек $$B$$ и $$C$$ одинаковая абсцисса.

Кроме того, в прямоугольнике $$AB \perp AD$$, поэтому $$AB$$ горизонтальна. Значит, у точек $$A$$ и $$B$$ одинаковая ордината, то есть $$y_B=2$$, а у точки $$C$$ такая же ордината, как у $$D$$: $$y_C=-6$$.

Найдём абсциссу точки $$C$$ из уравнения:

$$\sqrt{(x-1)^2+(-6-2)^2}=17,$$

$$\sqrt{(x-1)^2+64}=17,$$

$$ (x-1)^2+64=289,$$

$$ (x-1)^2=225,$$

$$ x-1=\pm 15,$$

$$ x=16 \quad \text{или} \quad x=-14.$$

Значит, возможны два варианта координат точки $$C$$:

$$C(16;-6) \quad \text{или} \quad C(-14;-6).$$

Тогда соответствующие координаты точки $$B$$:

$$B(16;2) \quad \text{или} \quad B(-14;2).$$