Упр.46 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Две стороны треугольника относятся как $$1:2\sqrt{3}$$ и образуют угол, равный $$30^\circ$$. Третья сторона треугольника равна $$2\sqrt{7}\text{ см}$$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$AB=x$$, тогда по условию $$BC=2\sqrt{3}\,x$$. Рассмотрим $$\triangle ABC$$ и применим теорему косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B.$$

Подставим данные:

$$\left(2\sqrt{7}\right)^2=x^2+\left(2\sqrt{3}\,x\right)^2-2\cdot x\cdot 2\sqrt{3}\,x\cdot \cos 30^\circ.$$

Получаем:

$$28=x^2+12x^2-4\sqrt{3}\,x^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

$$28=13x^2-6x^2=7x^2.$$

$$x^2=4,\quad x=2.$$

Тогда

$$AB=2\text{ см},$$

$$BC=2\sqrt{3}\cdot 2=4\sqrt{3}\text{ см}.$$