Упр.457 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 457. Точка F делит сторону ВС прямоугольника ABCD в отношении 1:2, считая от вершины В (рис. 105). Найдите координаты векторов AF и FD.

Подробный ответ

Пусть координаты точек прямоугольника заданы так: $$C(3;0),\ D(5;0),\ F(3;-4).$$

Так как точка $$F$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$1:2$$, считая от вершины $$B$$, то

$$CF:FB=2:1.$$

Следовательно, $$CF=\frac{2}{3}BC,$$ значит

$$BC=\frac{3}{2}\cdot CF=\frac{3}{2}\cdot 4=6.$$

Так как сторона $$BC$$ вертикальна, то координата $$x$$ точки $$B$$ такая же, как у точки $$C$$, а координата $$y$$ отличается на $$6$$:

$$B(3;-6).$$

В прямоугольнике $$ABCD$$ стороны $$AB$$ и $$CD$$ параллельны и равны, поэтому точка $$A$$ имеет ту же абсциссу, что и точка $$D$$, и ту же ординату, что и точка $$B$$:

$$A(5;-6).$$

Теперь найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AF}=(x_F-x_A;\ y_F-y_A)=(3-5;\ -4-(-6))=(-2;\ 2).$$

$$\overrightarrow{FD}=(x_D-x_F;\ y_D-y_F)=(5-3;\ 0-(-4))=(2;\ 4).$$