Упр.441 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 441. На сторонах ВС и AD ромба ABCD отметили соответственно точки М и К такие, что ВМ:МС=KD:АК=1:2. Найдите отрезок МК, если АВ=a, угол АВС=60°.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Тогда $$\angle A=180^\circ-\angle B=120^\circ$$, а диагональ $$AC$$ биссектрисса угла $$A$$, значит

$$\angle DAC=\frac{1}{2}\angle A=60^\circ.$$

Так как в ромбе противоположные углы равны, то $$\angle C=120^\circ$$, а потому

$$\angle COM=\angle DAC=60^\circ.$$

Из условия $$BM:MC=1:2$$, следовательно

$$MC=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}a.$$

Аналогично из $$KD:AK=1:2$$ получаем

$$AK=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}a.$$

Рассмотрим треугольники $$AOK$$ и $$COM$$. У них

$$\angle AOK=\angle COM$$ — вертикальные,

$$\angle KAO=\angle MCO$$,

$$AK=CM.$$

Следовательно, $$\triangle AOK \cong \triangle COM$$ по второму признаку, значит

$$OK=OM.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AOK$$. По теореме косинусов:

$$ OK^2=AO^2+AK^2-2\cdot AO\cdot AK\cos\angle AOK $$

Так как $$AB=BC=a$$ и $$\angle B=60^\circ$$, то $$\triangle ABC$$ — равносторонний, значит

$$AC=a,\qquad AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.$$

Тогда

$$ OK^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{3}\right)^2-2\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{3}\cdot \cos 60^\circ $$

$$ OK^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{9}-\frac{a^2}{6} =\frac{13a^2}{36}. $$

Отсюда

$$OK=\frac{a\sqrt{13}}{6}.$$

Так как $$K,O,M$$ лежат на одной прямой и $$KO=OM$$, то

$$MK=2OK=\frac{a\sqrt{13}}{3}.$$

Ответ

$$\frac{a\sqrt{13}}{3}$$