Упр.44 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 44. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, ВС=а, АС=b, угол AOB=120°. Найдите сторону АВ.

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, то $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. В нём

$$\angle OAB+\angle OBA=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Поскольку $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы, то

$$\angle A=\;2\angle OAB,\qquad \angle B=\;2\angle OBA.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-2(\angle OAB+\angle OBA)=180^\circ-2\cdot 60^\circ=60^\circ.$$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $$ABC$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C.$$

Подставим $$AC=b$$, $$BC=a$$ и $$\angle C=60^\circ$$:

$$AB^2=b^2+a^2-2ab\cdot \cos 60^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$$, получаем

$$AB^2=a^2+b^2-ab.$$

Следовательно,

$$AB=\sqrt{a^2+b^2-ab}.$$

Ответ

$$\sqrt{a^2+b^2-ab}$$