Упр.438 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 438. Известно, что вектопры МО=ON. Докажите, что точка О — середина отрезка MN. Докажите обратное утверждение: если точка О — середина отрезка MN, то векторы МО=ON.

1) Пусть $$\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{ON}.$$ Тогда векторы $$\overrightarrow{MO}$$ и $$\overrightarrow{ON}$$ равны, значит, они сонаправлены и имеют равные длины. Следовательно, точки $$M, O, N$$ лежат на одной прямой, причём $$MO=ON$$.

Так как точка $$O$$ лежит на отрезке $$MN$$ и делит его на две равные части, то $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.

2) Пусть теперь $$O$$ — середина отрезка $$MN$$. Тогда точки $$M, O, N$$ лежат на одной прямой и $$MO=ON$$. Векторы $$\overrightarrow{MO}$$ и $$\overrightarrow{ON}$$ направлены вдоль одной прямой в одну сторону и имеют равные длины, значит, $$\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{ON}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

Если $$\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{ON}$$, то $$O$$ — середина $$MN$$; если $$O$$ — середина $$MN$$, то $$\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{ON}$$.