Упр.437 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 437. Для четырёх точек А, В, С и D известно, что векторы АВ=CD. Докажите, что середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то векторы АВ=CD.

1) Рассмотрим четырёхугольник $$ABDC$$. По условию $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$, значит, отрезки $$AB$$ и $$CD$$ равны и параллельны: $$AB=CD$$, $$AB \parallel CD$$.

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABDC$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит, $$ABDC$$ — параллелограмм.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей $$AD$$ и $$BC$$. Тогда

$$AO=DO,\qquad BO=CO.$$

Значит, середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают.

2) Докажем обратное утверждение. Пусть середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают. Обозначим эту общую середину через $$O$$. Тогда

$$AO=DO,\qquad BO=CO.$$

Следовательно, диагонали $$AD$$ и $$BC$$ четырёхугольника $$ABDC$$ делятся точкой $$O$$ пополам. Значит, $$ABDC$$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому

$$AB=CD,\qquad AB \parallel CD,$$

то есть

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

Если $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$, то середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают; обратно, если середины отрезков $$AD$$ и $$BC$$ совпадают, то $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$.