Упр.436 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 436. Известно, что векторы АВ и АС коллинеарны. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой. Верно ли обратное утверждение: если точки А, В и С лежат на одной прямой, то векторы AB и AC коллинеарны?

1) Докажем, что если векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарны, то точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

Предположим противное: точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не лежат на одной прямой. Тогда прямые $$AB$$ и $$AC$$ различны и пересекаются только в точке $$A$$. Но если $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарны, то прямые $$AB$$ и $$AC$$ параллельны. Получаем противоречие. Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

2) Проверим обратное утверждение.

Пусть точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой. Тогда векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ имеют одну и ту же или противоположные направления, то есть они коллинеарны.

Следовательно, обратное утверждение верно.

Ответ

Да, если $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарны, то точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой. Обратное утверждение тоже верно: если точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, то векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ коллинеарны.