Упр.435 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Известно, что векторы $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$ неколлинеарны. Вектор $$\vec{a}$$ коллинеарен каждому из векторов $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$. Докажите, что вектор $$\vec{a}$$ является нулевым.

Так как вектор $$\vec b$$ и вектор $$\vec c$$ неколлинеарны, то они не лежат на одной прямой.

По условию вектор $$\vec a$$ коллинеарен вектору $$\vec b$$, значит, существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a=k\vec b.$$

А так как $$\vec a$$ коллинеарен и вектору $$\vec c$$, то существует число $$m$$ такое, что

$$\vec a=m\vec c.$$

Если бы $$\vec a\neq \vec 0$$, то из равенств $$\vec a=k\vec b$$ и $$\vec a=m\vec c$$ следовало бы, что векторы $$\vec b$$ и $$\vec c$$ коллинеарны, поскольку оба параллельны одному и тому же ненулевому вектору $$\vec a$$. Это противоречит условию.

Следовательно, предположение $$\vec a\neq \vec 0$$ неверно, значит,

$$\vec a=\vec 0.$$

Ответ

$$\vec a=\vec 0$$.