Упр.434 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
- В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ (угол $$C=90^\circ$$) медиана $$CM$$ равна 6 см. Найдите модули векторов $$AB$$ и $$AC$$, если угол $$A=30^\circ$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$ и $$\angle A=30^\circ$$. В таком треугольнике сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы, значит
$$BC=\frac{1}{2}AB.$$
Так как $$CM$$ — медиана к гипотенузе $$AB$$, то точка $$M$$ является центром описанной окружности треугольника $$ABC$$, а значит
$$MA=MB=MC.$$
По условию $$CM=6$$ см, следовательно,
$$MA=MB=MC=6.$$
Но тогда
$$MA=\frac{1}{2}AB=BC,$$
откуда
$$BC=6,\qquad AB=12.$$
Найдём второй катет по теореме Пифагора:
$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2} =\sqrt{12^2-6^2} =\sqrt{144-36} =\sqrt{108} =6\sqrt{3}.$$
Следовательно, модули векторов равны длинам соответствующих отрезков:
$$|\overrightarrow{AB}|=12,\qquad |\overrightarrow{AC}|=6\sqrt{3}.$$
Ответ
$$|\overrightarrow{AB}|=12\text{ см},\quad |\overrightarrow{AC}|=6\sqrt{3}\text{ см}.$$
