Упр.434 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 434. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С=90°) медиана СМ равна 6 см. Найдите модули векторов АВ и АС, если угол A=30°.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$ и $$\angle A=30^\circ$$. В таком треугольнике сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы, значит

$$BC=\frac{1}{2}AB.$$

Так как $$CM$$ — медиана к гипотенузе $$AB$$, то точка $$M$$ является центром описанной окружности треугольника $$ABC$$, а значит

$$MA=MB=MC.$$

По условию $$CM=6$$ см, следовательно,

$$MA=MB=MC=6.$$

Но тогда

$$MA=\frac{1}{2}AB=BC,$$

откуда

$$BC=6,\qquad AB=12.$$

Найдём второй катет по теореме Пифагора:

$$ AC=\sqrt{AB^2-BC^2} =\sqrt{12^2-6^2} =\sqrt{144-36} =\sqrt{108} =6\sqrt{3}. $$

Следовательно, модули векторов равны длинам соответствующих отрезков: