Упр.431 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 431. Дан четырёхугольник АВCD. Известно, что векторы АВ и CD коллинеарны и |AC|=|BD|. Определите вид четырёхугольника АВCD.

Подробный ответ

Так как векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ коллинеарны, то прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны.

Рассмотрим два возможных случая.

1) Если $$BC \parallel AD$$, то в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

В параллелограмме равенство диагоналей $$|AC|=|BD|$$ означает, что он является прямоугольником.

2) Если $$BC \not\parallel AD$$, то четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция, причём $$AB \parallel CD$$ — её основания.

У трапеции равенство диагоналей $$|AC|=|BD|$$ означает, что она равнобокая.

Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ может быть прямоугольником или равнобокой трапецией.