Упр.43 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удалён от концов гипотенузы на $$a$$ см и $$b$$ см. Найдите гипотенузу треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Тогда $$\angle A+\angle B=90^\circ$$.

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы углов $$\angle BAC$$ и $$\angle ABC$$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Тогда

$$\angle AOB=180^\circ-(\angle BAO+\angle OBA)$$

Так как $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAO=\frac{\angle A}{2}, \qquad \angle OBA=\frac{\angle B}{2}$$

Следовательно,

$$\angle AOB=180^\circ-\frac{\angle A+\angle B}{2} =180^\circ-\frac{90^\circ}{2}=135^\circ.$$

По теореме косинусов в треугольнике $$AOB$$:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos\angle AOB$$

Подставим $$AO=a$$, $$BO=b$$ и $$\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$$:

$$AB^2=a^2+b^2-2ab\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)$$

$$AB^2=a^2+b^2+ab\sqrt2$$

Тогда

$$AB=\sqrt{a^2+b^2+ab\sqrt2}.$$

Ответ

$$\sqrt{a^2+b^2+ab\sqrt2}\text{ см}$$