Упр.420 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Точки $$M$$, $$N$$, $$P$$ — соответственно середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CA$$ треугольника $$ABC$$. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$M$$, $$N$$, $$P$$: 1) равные вектору $$\overrightarrow{MN}$$; 2) коллинеарные вектору $$\overrightarrow{AB}$$; 3) противоположно направленные с вектором $$\overrightarrow{MP}$$; 4) сонаправленные с вектором $$\overrightarrow{CA}$$.

Подробный ответ

Так как точки $$M,$$ $$N,$$ $$P$$ — середины сторон треугольника $$ABC,$$ то отрезок, соединяющий середины двух сторон, является средней линией треугольника. Поэтому:

$$MN \parallel AC,$$
$$MP \parallel BC,$$
$$NP \parallel AB.$$

Кроме того, равные векторы должны иметь одинаковое направление и одинаковую длину, а противоположно направленные — лежать на параллельных прямых, но иметь противоположные направления.

1) Равные вектору $$\overrightarrow{MN}$$: $$\overrightarrow{AP},\ \overrightarrow{PC}.$$

2) Коллинеарные вектору $$\overrightarrow{AB}$$: $$\overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{PN},\ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{NP},\ \overrightarrow{BA}.$$

3) Противоположно направленные с вектором $$\overrightarrow{MP}$$: $$\overrightarrow{PM},\ \overrightarrow{NB},\ \overrightarrow{CN},\ \overrightarrow{CB}.$$

4) Сонаправленные с вектором $$\overrightarrow{CA}$$: $$\overrightarrow{CP},\ \overrightarrow{PA},\ \overrightarrow{NM}.$$

Ответ

1) $$\overrightarrow{AP},\ \overrightarrow{PC}$$;
2) $$\overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{PN},\ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{NP},\ \overrightarrow{BA}$$;
3) $$\overrightarrow{PM},\ \overrightarrow{NB},\ \overrightarrow{CN},\ \overrightarrow{CB}$$;
4) $$\overrightarrow{CP},\ \overrightarrow{PA},\ \overrightarrow{NM}$$.