Упр.42 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 42. В треугольнике АВС известно, что угол c=90°, АВ=13 см, АС=12 см. На продолжении гипотенузы АВ за точку В отметили точку D так, что BD=26 см. Найдите отрезок CD.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. По теореме Пифагора найдём катет $$BC$$:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5.$$

Теперь найдём угол $$\angle B$$:

$$\cos \angle B=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}.$$

Точка $$D$$ лежит на продолжении гипотенузы $$AB$$ за точку $$B$$, значит угол $$\angle CBD$$ смежный с углом $$\angle B$$:

$$\angle CBD=180^\circ-\angle B,$$

поэтому

$$\cos \angle CBD=-\cos \angle B=-\frac{5}{13}.$$

Рассмотрим треугольник $$CBD$$ и применим теорему косинусов:

$$CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos \angle CBD.$$

Подставим значения: