Упр.419 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$, $$O$$: 1) равные; 2) сонаправленные; 3) противоположно направленные.

Подробный ответ

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, а диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому для точки $$O$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ — имеем:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC},\quad \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA};$$
$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC},\quad \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO},\quad \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD},\quad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}.$$

Следовательно, равные векторы — это векторы, имеющие одинаковую длину и одно направление; сонаправленные — лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону; противоположно направленные — лежащие на параллельных прямых, но направленные в разные стороны.

1) Равные векторы:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC},\quad \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA},$$
$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC},\quad \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO},\quad \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD},\quad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}.$$

2) Сонаправленные векторы:

$$\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DC},\quad \overrightarrow{AO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{OC}\uparrow\uparrow\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{OA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CA},$$
$$\overrightarrow{BA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{BO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{OD}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BD},\quad \overrightarrow{OB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DB},$$
$$\overrightarrow{BC}\uparrow\uparrow\overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{CB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DA}.$$

3) Противоположно направленные векторы:

$$\overrightarrow{AB}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BA},\quad \overrightarrow{AB}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{AD}\uparrow\downarrow\overrightarrow{DA},\quad \overrightarrow{AD}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CB},$$
$$\overrightarrow{BC}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CB},\quad \overrightarrow{BC}\uparrow\downarrow\overrightarrow{DA},\quad \overrightarrow{DC}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{DC}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BA},$$
$$\overrightarrow{AO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{OA},\quad \overrightarrow{CO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{OC},\quad \overrightarrow{AC}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CA},\quad \overrightarrow{AO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CO},$$
$$\overrightarrow{AO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CA},\quad \overrightarrow{CO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{OA}\uparrow\downarrow\overrightarrow{OC},\quad \overrightarrow{OA}\uparrow\downarrow\overrightarrow{AC},$$
$$\overrightarrow{OC}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CA},\quad \overrightarrow{BO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{OB},\quad \overrightarrow{DO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{OD},\quad \overrightarrow{BD}\uparrow\downarrow\overrightarrow{DB},$$
$$\overrightarrow{BO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{DO},\quad \overrightarrow{BO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{DB},\quad \overrightarrow{DO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BD},\quad \overrightarrow{OB}\uparrow\downarrow\overrightarrow{OD},$$
$$\overrightarrow{OB}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BD},\quad \overrightarrow{OD}\uparrow\downarrow\overrightarrow{DB}.$$

Ответ

1) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC},\ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA},\ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO},\ \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD},\ \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}.$$
2) $$\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DC},\ \overrightarrow{AO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{OC}\uparrow\uparrow\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{OA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{BA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{BO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{OD}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{OB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DB},\ \overrightarrow{BC}\uparrow\uparrow\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DA}.$$
3) Все остальные пары из указанных точек, лежащие на параллельных прямых и направленные в противоположные стороны.