Упр.418 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 418. Точки М и N — соответственно середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках А, В, С, D, М, N: 1) равные вектору АМ; 2) коллинеарные вектору CD; 3) противоположно направленные с вектором NC; 4) сонаправленные с вектором ВС.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$, значит

$$AM=MB,\qquad CN=ND.$$

1) Вектору $$\overrightarrow{AM}$$ равны векторы с тем же направлением и той же длиной. Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}.$$

Аналогично, поскольку $$N$$ — середина $$CD$$ и $$AB \parallel CD$$, получаем

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{DN}.$$

2) Коллинеарны вектору $$\overrightarrow{CD}$$ все векторы, лежащие на прямых, параллельных $$CD$$, то есть на прямых $$AB$$ и $$CD$$.

Это векторы:

$$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{CN},\ \overrightarrow{NC},\ \overrightarrow{DN},\ \overrightarrow{ND},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{DC}.$$

3) Вектор $$\overrightarrow{NC}$$ направлен так же, как $$\overrightarrow{CD}$$, поэтому противоположно направлены ему векторы, направленные в обратную сторону:

$$\overrightarrow{CN},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{ND},\ \overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{BA}.$$

4) Сонаправлены с вектором $$\overrightarrow{BC}$$ векторы, параллельные ему и направленные в ту же сторону. В параллелограмме $$BC \parallel AD$$, а отрезок $$MN$$ соединяет середины боковых сторон и параллелен основаниям, значит

$$\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{AD}$$

сонаправлены с $$\overrightarrow{BC}$$.

Ответ

1) $$\overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{NC},\ \overrightarrow{DN}$$;

2) $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{CN},\ \overrightarrow{NC},\ \overrightarrow{DN},\ \overrightarrow{ND},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{DC}$$;

3) $$\overrightarrow{CN},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{ND},\ \overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{BA}$$;

4) $$\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{AD}$$.