Упр.41 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 41. На продолжении гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника АВС за точку B отметили точку D так, что BD=ВС. Найдите отрезок CD. если катет треугольника АВС равен а.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $$ABC$$. Так как он равнобедренный и прямоугольный, то $$\angle C=90^\circ$$, а углы при основании равны:

$$\angle A=\angle B=45^\circ.$$

По условию $$BD=BC=a$$, причём точка $$D$$ лежит на продолжении гипотенузы $$AB$$ за точку $$B$$. Тогда

$$\angle CBD=180^\circ-\angle B=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CBD$$ и применим теорему косинусов:

$$ CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos\angle CBD $$

Подставим значения:

$$ CD^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cos 135^\circ $$

Так как $$\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$$, получаем:

$$ CD^2=2a^2-2a^2\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2a^2+\sqrt2\,a^2=a^2(2+\sqrt2). $$

Следовательно,

$$ CD=a\sqrt{2+\sqrt2}. $$