Упр.405 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Медианы равнобедренного треугольника равны $$15$$ см, $$15$$ см и $$18$$ см. Найдите площадь треугольника.

Подробный ответ

Обозначим медианы треугольника $$ABC$$ через $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. По условию $$AA_1=CC_1=15$$ см, $$BB_1=18$$ см. Так как треугольник равнобедренный, то $$AB=BC$$, а медиана $$BB_1$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также высотой.

Точка пересечения медиан $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому

$$OB_1=\frac{1}{3}BB_1=\frac{1}{3}\cdot 18=6,$$

$$AO=\frac{2}{3}AA_1=\frac{2}{3}\cdot 15=10.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB_1$$. В нём

$$AB_1=\sqrt{AO^2-OB_1^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

Так как $$B_1$$ — середина основания $$AC$$, то

$$AC=2AB_1=2\cdot 8=16.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BB_1=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 18=144.$$