Упр.403 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 403. В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов A и В пересекаются в точке O (рис. 84). Докажите, что угол АОВ равен полусумме углов С и D.

В четырёхугольнике $$ABCD$$ сумма всех внутренних углов равна $$360^\circ$$, значит

$$\angle C+\angle D=360^\circ-\angle A-\angle B.$$

Так как $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$, то

$$\angle BAO=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle ABO=\frac{1}{2}\angle B.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Тогда

$$\angle AOB=180^\circ-\angle BAO-\angle ABO.$$

Подставим найденные выражения:

$$ \angle AOB=180^\circ-\frac{1}{2}\angle A-\frac{1}{2}\angle B $$

$$ \angle AOB=\frac{1}{2}\left(360^\circ-\angle A-\angle B\right) $$

$$ \angle AOB=\frac{\angle C+\angle D}{2}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle AOB=\frac{\angle C+\angle D}{2}.$$