Упр.403 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$O$$ (рис. 84). Докажите, что угол $$AOB$$ равен полусумме углов $$C$$ и $$D$$.

В четырёхугольнике $$ABCD$$ сумма всех внутренних углов равна $$360^\circ$$, значит

$$\angle C+\angle D=360^\circ-\angle A-\angle B.$$

Так как $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$, то

$$\angle BAO=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle ABO=\frac{1}{2}\angle B.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Тогда

$$\angle AOB=180^\circ-\angle BAO-\angle ABO.$$

Подставим найденные выражения:

$$\angle AOB=180^\circ-\frac{1}{2}\angle A-\frac{1}{2}\angle B$$

$$\angle AOB=\frac{1}{2}\left(360^\circ-\angle A-\angle B\right)$$

$$\angle AOB=\frac{\angle C+\angle D}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle AOB=\frac{\angle C+\angle D}{2}.$$