Упр.402 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

2) Докажите, что прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1 k2=-1.

1) У прямой $$y=-x+3$$ угловой коэффициент равен $$k=-1$$. Для перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно $$-1$$, значит для искомой прямой

$$k\cdot(-1)=-1,$$

откуда $$k=1$$.

Искомая прямая имеет вид $$y=x+b$$. Подставим точку $$A(1;5)$$:

$$5=1+b,$$

$$b=4.$$

Следовательно, уравнение искомой прямой:

$$y=x+4.$$

2) Пусть прямые $$y=k_1x+b_1$$ и $$y=k_2x+b_2$$ перпендикулярны. Тогда их угловые коэффициенты связаны соотношением

$$k_1k_2=-1.$$

Докажем обратное. Если $$k_1k_2=-1$$, то $$k_1=-\dfrac{1}{k_2}$$. Пусть $$k_2=\tan \alpha_2$$. Тогда

$$k_1=-\frac{1}{\tan \alpha_2}=-\cot \alpha_2=\tan(90^\circ+\alpha_2).$$

Значит, углы наклона прямых отличаются на $$90^\circ$$, то есть прямые перпендикулярны.

Итак, прямые $$y=k_1x+b_1$$ и $$y=k_2x+b_2$$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда

$$k_1k_2=-1.$$

Ответ

1) $$y=x+4$$.

2) $$y=k_1x+b_1$$ и $$y=k_2x+b_2$$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $$k_1k_2=-1$$.