Упр.40 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 40. В треугольнике АВС известно, что угол C=90°, АС=20 см, ВС=15 см. На стороне АВ отметили точку M так, что ВМ=4 см. Найдите отрезок СМ.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Тогда по теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25.$$

Найдём косинус угла $$B$$:

$$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BMC$$. По теореме косинусов:

$$CM^2=BM^2+BC^2-2\cdot BM\cdot BC\cdot \cos B.$$

Подставим значения:

$$CM^2=4^2+15^2-2\cdot 4\cdot 15\cdot \frac{3}{5}$$

$$CM^2=16+225-72=169.$$

Следовательно,

$$CM=\sqrt{169}=13.$$