Упр.386 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 386. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на её большем основании. Найдите радиус окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а высота — 12 см.
Обозначим основание трапеции через $$AD$$, а диагональ через $$BD$$. Пусть $$H$$ — основание высоты $$BH$$, тогда $$BH=12$$ см, $$BD=20$$ см.
Так как центр описанной окружности лежит на большем основании равнобокой трапеции, то это основание является диаметром окружности. Значит, нужно найти $$AD$$, а затем радиус $$R=\dfrac{AD}{2}$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHD$$:
$$ DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16. $$
Теперь рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$BHD$$. У них:
- $$\angle ABD=\angle BHD=90^\circ$$;
- $$\angle ADB=\angle BDH$$.
Следовательно, $$\triangle ABD \sim \triangle BHD$$ по двум углам.
Из подобия получаем:
$$ \frac{BD}{DH}=\frac{AD}{BD}. $$
Тогда
$$ AD=\frac{BD^2}{DH}=\frac{20^2}{16}=\frac{400}{16}=25. $$
Следовательно, радиус окружности равен
$$ R=\frac{AD}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ см}. $$
Ответ
$$12{,}5\text{ см}$$
