Упр.384 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Диагонали параллелограмма равны $$6\sqrt{2}\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$, а угол между ними составляет $$45^\circ$$. Найдите стороны параллелограмма.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

$$AO=CO=\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}, \qquad BO=DO=\frac{1}{2}BD=4.$$

Угол между диагоналями равен $$45^\circ$$, значит

$$\angle BOC=180^\circ-\angle AOB=135^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos\angle AOB$$

$$AB^2=(3\sqrt{2})^2+4^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 4\cdot \cos 45^\circ$$

$$AB^2=18+16-24=10,$$

следовательно,

$$AB=\sqrt{10}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BOC$$. По теореме косинусов:

$$BC^2=BO^2+CO^2-2\cdot BO\cdot CO\cos\angle BOC$$

$$BC^2=4^2+(3\sqrt{2})^2-2\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}\cdot \cos 135^\circ$$

Так как $$\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$ получаем

$$BC^2=16+18+24=58,$$

значит,

$$BC=\sqrt{58}.$$

Ответ

$$AB=\sqrt{10}\text{ см}, \quad BC=\sqrt{58}\text{ см}.$$