Упр.384 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 384. Диагонали параллелограмма равны 6v2 см и 8 см, а угол между ними составляет 45°. Найдите стороны параллелограмма.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

$$AO=CO=\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}, \qquad BO=DO=\frac{1}{2}BD=4.$$

Угол между диагоналями равен $$45^\circ$$, значит

$$\angle BOC=180^\circ-\angle AOB=135^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$ AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos\angle AOB $$

$$ AB^2=(3\sqrt{2})^2+4^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 4\cdot \cos 45^\circ $$

$$ AB^2=18+16-24=10, $$

следовательно,

$$AB=\sqrt{10}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BOC$$. По теореме косинусов:

$$ BC^2=BO^2+CO^2-2\cdot BO\cdot CO\cos\angle BOC $$

$$ BC^2=4^2+(3\sqrt{2})^2-2\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}\cdot \cos 135^\circ $$

Так как $$\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$ получаем

$$ BC^2=16+18+24=58, $$

значит,

$$BC=\sqrt{58}.$$

Ответ

$$AB=\sqrt{10}\text{ см}, \quad BC=\sqrt{58}\text{ см}.$$