Упр.383 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 383. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 5 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 6.

Подробный ответ

Пусть центр искомой окружности имеет координаты $$\left(x_0,y_0\right)$$. Радиус окружности равен $$5$$, а хорда на оси абсцисс имеет длину $$6$$.

Тогда половина хорды равна

$$a=\frac{6}{2}=3.$$

Расстояние от центра окружности до оси абсцисс обозначим через $$b$$. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и перпендикуляром к оси абсцисс, имеем:

$$b=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$$

Значит, центр окружности находится на расстоянии $$4$$ от оси $$Ox$$, то есть его ордината равна $$4$$ или $$-4$$. Абсцисса при этом может быть любой.

Следовательно, геометрическое место центров задаётся двумя прямыми:

$$y=4$$ и $$y=-4.$$

Их уравнение можно записать в виде

$$\left(y-4\right)\left(y+4\right)=0,$$

то есть

$$y^2-16=0.$$