Упр.382 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 382. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(2; 0) и В(4; 0), центр которой принадлежит прямой 2x+3y=18.

Подробный ответ

Так как точки $$A(2;0)$$ и $$B(4;0)$$ лежат на окружности, то хорда $$AB$$ горизонтальна. Её середина имеет координаты

$$ M\left(\frac{2+4}{2};\frac{0+0}{2}\right)=(3;0). $$

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $$AB$$, значит его абсцисса равна $$3$$. Кроме того, центр принадлежит прямой $$2x+3y=18$$. Подставим $$x=3$$:

$$ 2\cdot 3+3y=18, $$
$$ 6+3y=18, $$
$$ 3y=12, $$
$$ y=4. $$

Следовательно, центр окружности имеет координаты $$O(3;4)$$.

Найдём радиус:

$$ R=OA=\sqrt{(3-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}. $$

Тогда уравнение окружности:

$$ (x-3)^2+(y-4)^2=17. $$