Упр.382 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки $$A(2; 0)$$ и $$B(4; 0)$$, центр которой принадлежит прямой $$2x+3y=18$$.

Так как точки $$A(2;0)$$ и $$B(4;0)$$ лежат на окружности, то хорда $$AB$$ горизонтальна. Её середина имеет координаты

$$M\left(\frac{2+4}{2};\frac{0+0}{2}\right)=(3;0).$$

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $$AB$$, значит его абсцисса равна $$3$$. Кроме того, центр принадлежит прямой $$2x+3y=18$$. Подставим $$x=3$$:

$$2\cdot 3+3y=18,$$
$$6+3y=18,$$
$$3y=12,$$
$$y=4.$$

Следовательно, центр окружности имеет координаты $$O(3;4)$$.

Найдём радиус:

$$R=OA=\sqrt{(3-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}.$$

Тогда уравнение окружности:

$$(x-3)^2+(y-4)^2=17.$$

Ответ

$$(x-3)^2+(y-4)^2=17$$