Упр.381 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 381. Найдите координаты точки, равноудалённой от осей координат и от точки В(-4; 2).

Пусть искомая точка имеет координаты $$S(x;y)$$.

Так как точка равноудалена от осей координат, то её расстояния до осей равны:

$$|x|=|y|,$$

значит, возможны два случая:

$$y=x \quad \text{или} \quad y=-x.$$

Кроме того, точка $$S$$ равноудалена от точки $$B(-4;2)$$, поэтому

$$SB=\sqrt{(x+4)^2+(y-2)^2}.$$

1) Пусть $$y=x$$. Тогда

$$x^2=(x+4)^2+(x-2)^2,$$

$$x^2=x^2+8x+16+x^2-4x+4,$$

$$x^2+4x+20=0.$$

Дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 20=16-80=-64<0.$$

Значит, в этом случае решений нет.

2) Пусть $$y=-x$$. Тогда

$$x^2=(x+4)^2+(-x-2)^2,$$

$$x^2=x^2+8x+16+x^2+4x+4,$$

$$x^2+12x+20=0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2-4\cdot 1\cdot 20=144-80=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{-12\pm 8}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=-10,\quad x_2=-2.$$

Тогда

$$y_1=10,\quad y_2=2.$$

Искомые точки: $$(-10;10)$$ и $$(-2;2)$$.

Ответ

$$(-10;10),\ (-2;2).$$