Упр.380 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 380. Найдите координаты точки, равноудалённой от осей координат и от точки А(3; 6).

Пусть искомая точка имеет координаты $$S(x;y)$$.

Так как точка равноудалена от осей координат, то её расстояния до осей равны:

$$|x|=|y|.$$

Значит, возможны два случая:

$$y=x \quad \text{или} \quad y=-x.$$

Кроме того, точка $$S$$ равноудалена от точки $$A(3;6)$$, поэтому

$$SA=\sqrt{(x-3)^2+(y-6)^2}.$$

1) Пусть $$y=x$$. Тогда

$$\sqrt{(x-3)^2+(x-6)^2}=|x|.$$

Возведём в квадрат:

$$ (x-3)^2+(x-6)^2=x^2.$$

$$x^2-6x+9+x^2-12x+36=x^2,$$

$$x^2-18x+45=0.$$

Найдём корни:

$$D=18^2-4\cdot 45=324-180=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{18\pm 12}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=3,\quad x_2=15.$$

Тогда при $$y=x$$ имеем точки $$S(3;3)$$ и $$S(15;15)$$.

2) Пусть $$y=-x$$. Тогда

$$\sqrt{(x-3)^2+(-x-6)^2}=|x|.$$

После возведения в квадрат получаем:

$$ (x-3)^2+(x+6)^2=x^2,$$

$$x^2-6x+9+x^2+12x+36=x^2,$$

$$x^2+6x+45=0.$$

Дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 45=36-180<0,$$

значит, действительных решений нет.

Следовательно, искомые точки: $$S(3;3)$$ и $$S(15;15)$$.

Ответ

$$ (3;3),\ (15;15) $$