Упр.38 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 38. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС отмечена точка М так, что АМ:ВМ=1:3. Найдите отрезок СМ, если АС=ВС=4 см.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный и $$AC=BC=4\text{ см}$$, то он равнобедренный прямоугольный. Следовательно,

$$\angle C=90^\circ,\qquad \angle A=\angle B=45^\circ.$$

Найдём гипотенузу:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$

Точка $$M$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$AM:BM=1:3$$, значит

$$AM=\frac{1}{1+3}\cdot AB=\frac14\cdot 4\sqrt{2}=\sqrt{2}.$$

Рассмотрим $$\triangle AMC$$ и применим теорему косинусов:

$$CM^2=AM^2+AC^2-2\cdot AM\cdot AC\cdot \cos\angle A.$$

Подставим значения:

$$CM^2=(\sqrt{2})^2+4^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot 4\cdot \cos 45^\circ$$

$$CM^2=2+16-8\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=18-8=10.$$