Упр.377 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 377. Найдите длины хорды окружности (x+1)^2+(y-2)^2=25, лежащей на прямой у=3x.

Подставим уравнение прямой $$y=3x$$ в уравнение окружности:

$$ (x+1)^2+(y-2)^2=25, $$
$$ (x+1)^2+(3x-2)^2=25. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+2x+1+9x^2-12x+4=25, $$
$$ 10x^2-10x-20=0. $$

Разделим уравнение на $$10$$:

$$ x^2-x-2=0. $$

Найдём корни:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9, $$
$$ x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}. $$

Тогда

$$ x_1=-1,\quad x_2=2. $$

Соответствующие значения $$y$$:

$$ y_1=3\cdot(-1)=-3,\quad y_2=3\cdot 2=6. $$

Точки пересечения окружности и прямой: $$A(-1,-3)$$ и $$B(2,6)$$.

Длина хорды равна расстоянию между этими точками:

$$ AB=\sqrt{(2-(-1))^2+(6-(-3))^2} =\sqrt{3^2+9^2} =\sqrt{9+81} =\sqrt{90} =3\sqrt{10}. $$

Ответ

$$3\sqrt{10}$$