Упр.375 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 375. Найдите расстояние от начала координат до прямой 5x-2y=10.

Подробный ответ

Найдём расстояние от начала координат $$O(0,0)$$ до прямой $$5x-2y=10$$.

Проведём через начало координат перпендикуляр к данной прямой. Угловой коэффициент прямой $$5x-2y=10$$ равен $$\frac{5}{2}$$, значит, угловой коэффициент перпендикуляра равен $$-\frac{2}{5}$$. Тогда уравнение перпендикуляра:

$$y=-\frac{2}{5}x.$$

Найдём точку пересечения этих прямых:

$$5x-2\left(-\frac{2}{5}x\right)=10$$

$$5x+\frac{4}{5}x=10$$

$$\frac{29}{5}x=10$$

$$x=\frac{50}{29}.$$

Тогда

$$y=-\frac{2}{5}\cdot \frac{50}{29}=-\frac{20}{29}.$$

Искомое расстояние равно длине отрезка $$OP$$, где $$P\left(\frac{50}{29},-\frac{20}{29}\right)$$:

$$ OP=\sqrt{\left(\frac{50}{29}\right)^2+\left(-\frac{20}{29}\right)^2} =\sqrt{\frac{2500+400}{841}} =\sqrt{\frac{2900}{841}} =\frac{\sqrt{2900}}{29} =\frac{10\sqrt{29}}{29}. $$