Упр.374 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 374. Докажите, что окружность (x-4)^2+(y-2)^2=1 и прямая 3x+y=3 не имеют общих точек.

Подробный ответ

Подставим уравнение прямой $$3x+y=3$$ в уравнение окружности.

Из прямой получаем $$y=3-3x$$. Тогда для точек пересечения должно выполняться

$$ (x-4)^2+(y-2)^2=1, $$

то есть

$$ (x-4)^2+(3-3x-2)^2=1. $$

Упростим:

$$ (x-4)^2+(1-3x)^2=1, $$

$$ x^2-8x+16+1-6x+9x^2=1, $$

$$ 10x^2-14x+16=0. $$

Рассмотрим дискриминант:

$$ D=(-14)^2-4\cdot 10\cdot 16=196-640=-444. $$

Так как $$D<0$$, уравнение не имеет действительных корней, значит, система не имеет действительных решений. Следовательно, окружность и прямая не пересекаются.