Упр.374 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Докажите, что окружность $$(x-4)^2+(y-2)^2=1$$ и прямая $$3x+y=3$$ не имеют общих точек.

Подставим уравнение прямой $$3x+y=3$$ в уравнение окружности.

Из прямой получаем $$y=3-3x$$. Тогда для точек пересечения должно выполняться

$$(x-4)^2+(y-2)^2=1,$$

то есть

$$(x-4)^2+(3-3x-2)^2=1.$$

Упростим:

$$(x-4)^2+(1-3x)^2=1,$$

$$x^2-8x+16+1-6x+9x^2=1,$$

$$10x^2-14x+16=0.$$

Рассмотрим дискриминант:

$$D=(-14)^2-4\cdot 10\cdot 16=196-640=-444.$$

Так как $$D<0$$, уравнение не имеет действительных корней, значит, система не имеет действительных решений. Следовательно, окружность и прямая не пересекаются.

Ответ

Окружность $$\left(x-4\right)^2+\left(y-2\right)^2=1$$ и прямая $$3x+y=3$$ не имеют общих точек.