Упр.373 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 373. Докажите, что прямая x+y=5 является касательной к окружности (x-3)^2+(y+2)^2=8, и найдите координаты точки касания.

Подробный ответ

Подставим уравнение прямой $$x+y=5$$ в уравнение окружности $$\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=8$$. Из прямой получаем $$y=5-x$$.

Тогда

$$\left(x-3\right)^2+\left(5-x+2\right)^2=8,$$

$$\left(x-3\right)^2+\left(7-x\right)^2=8,$$

$$x^2-6x+9+x^2-14x+49=8,$$

$$2x^2-20x+50=0,$$

$$x^2-10x+25=0,$$

$$\left(x-5\right)^2=0.$$

Получили один корень $$x=5$$, значит прямая имеет с окружностью единственную общую точку и является касательной.

Найдём ординату точки касания:

$$y=5-x=5-5=0.$$