Упр.372 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 372. Докажите, что окружность (x-5)^2+(y-5)^2=9 и прямая x+y=7 пересекаются, и найдите координаты их точек пересечения.

Подставим уравнение прямой $$x+y=7$$ в уравнение окружности. Из прямой получаем $$y=7-x$$.

Тогда для точек пересечения должно выполняться:

$$ (x-5)^2+(7-x-5)^2=9 $$

$$ (x-5)^2+(2-x)^2=9 $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-10x+25+x^2-4x+4=9 $$

$$ 2x^2-14x+20=0 $$

$$ x^2-7x+10=0 $$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$ D=7^2-4\cdot 10=49-40=9 $$

$$ x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2} $$

Отсюда:

$$ x_1=2,\quad x_2=5 $$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$ y_1=7-2=5,\quad y_2=7-5=2 $$

Следовательно, окружность и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ

$$(2;5),\ (5;2)$$