Упр.372 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Докажите, что окружность $$(x-5)^2+(y-5)^2=9$$ и прямая $$x+y=7$$ пересекаются, и найдите координаты их точек пересечения.

Подставим уравнение прямой $$x+y=7$$ в уравнение окружности. Из прямой получаем $$y=7-x$$.

Тогда для точек пересечения должно выполняться:

$$(x-5)^2+(7-x-5)^2=9$$

$$(x-5)^2+(2-x)^2=9$$

Раскроем скобки:

$$x^2-10x+25+x^2-4x+4=9$$

$$2x^2-14x+20=0$$

$$x^2-7x+10=0$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=7^2-4\cdot 10=49-40=9$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2}$$

Отсюда:

$$x_1=2,\quad x_2=5$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=7-2=5,\quad y_2=7-5=2$$

Следовательно, окружность и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ

$$(2;5),\ (5;2)$$