Упр.367 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 367. Точки А(-3; -4), В(-2; 2), С(1; 3) и D(3; -2) — вершины трапеции ABCD (ВС || AD). Составьте уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции соединяет середины её боковых сторон. Найдём середины сторон $$AB$$ и $$CD$$.

1) Середина $$E$$ стороны $$AB$$:

$$ x_E=\frac{-3+(-2)}{2}=-\frac{5}{2}, \qquad y_E=\frac{-4+2}{2}=-1. $$

Значит, $$E\left(-\frac{5}{2};-1\right).$$

2) Середина $$F$$ стороны $$CD$$:

$$ x_F=\frac{1+3}{2}=2, \qquad y_F=\frac{3+(-2)}{2}=\frac{1}{2}. $$

Значит, $$F\left(2;\frac{1}{2}\right).$$

Найдём уравнение прямой $$EF$$ в виде $$y=kx+b$$.

Подставим координаты точек $$E$$ и $$F$$:

$$ -1=-\frac{5}{2}k+b, $$
$$ \frac{1}{2}=2k+b. $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ \frac{1}{2}-(-1)=2k+\frac{5}{2}k, $$
$$ \frac{3}{2}=\frac{9}{2}k, $$
$$ k=\frac{1}{3}. $$

Теперь найдём $$b$$:

$$ \frac{1}{2}=2\cdot\frac{1}{3}+b, $$
$$ b=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}. $$

Следовательно, уравнение средней линии трапеции:

$$ y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}. $$

Ответ

$$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}$$