Упр.36 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 36. В трапеции ABCD (ВС параллельна AD) известно, что ВС=3 см, AD=10 см, CD=4 см, угол D=60°. Найдите диагонали трапеции.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ACD$$. По теореме косинусов:

$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos \angle D.$$

Подставим данные:

$$AC^2=10^2+4^2-2\cdot 10\cdot 4\cdot \cos 60^\circ,$$

$$AC^2=100+16-80\cdot \frac{1}{2}=116-40=76.$$

Следовательно,

$$AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}.$$

Теперь найдём угол $$C$$ трапеции. Так как $$BC \parallel AD$$, то односторонние углы при секущей $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle C=180^\circ-\angle D=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$BCD$$. По теореме косинусов:

$$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos \angle C.$$