Упр.355 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 355. В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Одна из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, один из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Обозначим точку касания окружности с боковой стороной $$AB$$ через $$E$$, с основанием $$BC$$ — через $$F$$, с основанием $$AD$$ — через $$M$$. Тогда $$OE \perp AB$$, $$OF \perp BC$$, $$OM \perp AD$$, а радиус окружности равен $$12$$ см.

Так как окружность касается параллельных оснований трапеции, то расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до оснований:

$$MF=OM+OF=12+12=24.$$

В равнобокой трапеции углы при одном основании равны, поэтому $$\angle BAO=\angle DAO$$, а также $$\angle ABO=\angle CBO$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOE$$ и $$AOM$$. У них:

$$\angle E=\angle M=90^\circ,$$

$$\angle OAE=\angle OAM,$$

значит, $$\triangle AOE \sim \triangle AOM$$.

По условию $$AE=16$$ см, а так как точка касания делит боковую сторону на два отрезка, то в равнобокой трапеции соответствующие отрезки на боковых сторонах равны. Следовательно, $$AM=AE=16$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{OE}{AE}=\frac{AM}{OE}$$

или

$$OE^2=AE\cdot AM=16\cdot 16=256,$$

откуда $$OE=16$$ см.

Тогда

$$BE=AB-AE.$$

Но в прямоугольных треугольниках $$AOE$$ и $$BOE$$ можно аналогично получить подобие, откуда

$$BE=\frac{OE^2}{AE}=\frac{144}{16}=9.$$

Следовательно,

$$AB=AE+BE=16+9=25.$$

В равнобокой трапеции отрезки на основаниях, прилежащие к боковым сторонам, равны, поэтому