Упр.354 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 354. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите периметр прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$ADE$$.

Так как $$AB \perp AD$$, а $$AE \perp BD$$, то

$$\angle BAE = 90^\circ — \angle ABE,$$

$$\angle DAE = 90^\circ — \angle BAE = \angle ABE.$$

Следовательно, $$\triangle ABE \sim \triangle ADE$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{BE}{AE}=\frac{AE}{DE},$$

откуда

$$AE^2=BE\cdot DE.$$

Подставим данные:

$$AE^2=9\cdot 16=144,$$

$$AE=12\text{ см}.$$

Теперь найдём стороны прямоугольника.

В треугольнике $$ABE$$:

$$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\text{ см}.$$

В треугольнике $$ADE$$:

$$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\text{ см}.$$

Тогда периметр прямоугольника равен

$$P=2(AB+AD)=2(15+20)=70\text{ см}.$$

Ответ

$$70\text{ см}$$