Упр.353 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 353. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке Е, АВ=BE=12 см, ED=18 см. Найдите площадь параллелограмма.

Так как $$AD \parallel BC$$, а прямая $$BE$$ — секущая, то

$$\angle CBE=\angle AEB$$ — накрест лежащие.

Поскольку $$BE$$ — биссектриса угла $$B$$, имеем

$$\angle ABE=\angle CBE.$$

Следовательно, $$\angle ABE=\angle AEB$$. Значит, треугольник $$ABE$$ равнобедренный, и при этом $$AB=BE=12$$, поэтому

$$AE=AB=12.$$

Тогда

$$AD=AE+ED=12+18=30.$$

Найдём площадь параллелограмма:

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD\sin\angle A.$$

Так как в треугольнике $$ABE$$ углы при основании равны, а $$\angle ABE$$ — биссектриса, то $$\triangle ABE$$ равносторонний, значит

$$\angle A=60^\circ.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=12\cdot 30\cdot \sin 60^\circ=360\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=180\sqrt{3}.$$

Ответ

$$180\sqrt{3}\ \text{см}^2$$