Упр.352 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) A(-3; 7), В(-8; 2), С(-6; -2);
2) М(-1; 10), N(12; -3), К(4; 9).

Уравнение окружности с центром $$O(a;b)$$ имеет вид $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2.$$ Подставим координаты данных точек и составим систему для нахождения центра и радиуса.

1) $$A(-3;7),\ B(-8;2),\ C(-6;-2).$$

Запишем уравнения окружности для каждой точки:

$$ (x+3)^2+(y-7)^2=R^2, $$
$$ (x+8)^2+(y-2)^2=R^2, $$
$$ (x+6)^2+(y+2)^2=R^2. $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (x+8)^2+(y-2)^2-(x+3)^2-(y-7)^2=0, $$
$$ 10x+10y+10=0, $$
$$ x+y=-1. $$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$$ (x+6)^2+(y+2)^2-(x+8)^2-(y-2)^2=0, $$
$$ -4x+8y-28=0, $$
$$ x-2y+7=0. $$

Решая систему
$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ x-2y+7=0, \end{cases} $$
получаем $$x=-3,\ y=2.$$

Тогда

$$ R^2=(-3+3)^2+(2-7)^2=25. $$

Следовательно, уравнение окружности:

$$ (x+3)^2+(y-2)^2=25. $$

2) $$M(-1;10),\ N(12;-3),\ K(4;9).$$

Составим уравнения:

$$ (x+1)^2+(y-10)^2=R^2, $$
$$ (x-12)^2+(y+3)^2=R^2, $$
$$ (x-4)^2+(y-9)^2=R^2. $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (x-12)^2+(y+3)^2-(x+1)^2-(y-10)^2=0, $$
$$ 26x-26y-52=0, $$
$$ x-y-2=0, $$
$$ y=x-2. $$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$$ (x-4)^2+(y-9)^2-(x-12)^2-(y+3)^2=0, $$
$$ -16x+24y+72=0, $$
$$ -2x+3y+9=0. $$

Подставим $$y=x-2$$:

$$ -2x+3(x-2)+9=0, $$
$$ x+3=0, $$
$$ x=-3,\quad y=-5. $$

Найдём радиус:

$$ R^2=(-3+1)^2+(-5-10)^2=4+225=229. $$

Следовательно, уравнение окружности:

$$ (x+3)^2+(y+5)^2=229. $$

Ответ

1) $$\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$; 2) $$\left(x+3\right)^2+\left(y+5\right)^2=229$$.