Упр.352 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки: 1) $$A(-3; 7),\ В(-8; 2),\ С(-6; -2)$$; 2) $$М(-1; 10),\ N(12; -3),\ К(4; 9)$$.

Уравнение окружности с центром $$O(a;b)$$ имеет вид $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2.$$ Подставим координаты данных точек и составим систему для нахождения центра и радиуса.

1) $$A(-3;7),\ B(-8;2),\ C(-6;-2).$$

Запишем уравнения окружности для каждой точки:

$$(x+3)^2+(y-7)^2=R^2,$$
$$(x+8)^2+(y-2)^2=R^2,$$
$$(x+6)^2+(y+2)^2=R^2.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(x+8)^2+(y-2)^2-(x+3)^2-(y-7)^2=0,$$
$$10x+10y+10=0,$$
$$x+y=-1.$$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$$(x+6)^2+(y+2)^2-(x+8)^2-(y-2)^2=0,$$
$$-4x+8y-28=0,$$
$$x-2y+7=0.$$

Решая систему
$$\begin{cases} x+y=-1,\\ x-2y+7=0, \end{cases}$$
получаем $$x=-3,\ y=2.$$

Тогда

$$R^2=(-3+3)^2+(2-7)^2=25.$$

Следовательно, уравнение окружности:

$$(x+3)^2+(y-2)^2=25.$$

2) $$M(-1;10),\ N(12;-3),\ K(4;9).$$

Составим уравнения:

$$(x+1)^2+(y-10)^2=R^2,$$
$$(x-12)^2+(y+3)^2=R^2,$$
$$(x-4)^2+(y-9)^2=R^2.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(x-12)^2+(y+3)^2-(x+1)^2-(y-10)^2=0,$$
$$26x-26y-52=0,$$
$$x-y-2=0,$$
$$y=x-2.$$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$$(x-4)^2+(y-9)^2-(x-12)^2-(y+3)^2=0,$$
$$-16x+24y+72=0,$$
$$-2x+3y+9=0.$$

Подставим $$y=x-2$$:

$$-2x+3(x-2)+9=0,$$
$$x+3=0,$$
$$x=-3,\quad y=-5.$$

Найдём радиус:

$$R^2=(-3+1)^2+(-5-10)^2=4+225=229.$$

Следовательно, уравнение окружности:

$$(x+3)^2+(y+5)^2=229.$$

Ответ

1) $$\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$; 2) $$\left(x+3\right)^2+\left(y+5\right)^2=229$$.