Упр.35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 35. Стороны параллелограмма равны 2 корня из 2 см и 5 см, а один из его углов равен 45°. Найдите диагонали параллелограмма.
Рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме косинусов:
$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle A.$$
Подставим данные:
$$BD^2=(2\sqrt{2})^2+5^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \cos 45^\circ.$$
$$BD^2=8+25-20\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=33-20=13.$$
Следовательно,
$$BD=\sqrt{13}\text{ см}.$$
Теперь найдём вторую диагональ $$AC$$. В параллелограмме смежные углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит
$$\angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$
Кроме того, в параллелограмме $$BC=AD=5$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$ и применим теорему косинусов:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle B.$$
Подставим значения:
$$AC^2=(2\sqrt{2})^2+5^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \cos 135^\circ.$$
Так как $$\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, получаем:
$$AC^2=8+25-20\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=33+20=53.$$
Значит,
$$AC=\sqrt{53}\text{ см}.$$
Ответ
$$BD=\sqrt{13}\text{ см},\quad AC=\sqrt{53}\text{ см}.$$
