Упр.349 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 349. Составьте уравнение окружности, радиус которой равен v10, проходящей через точки M(-2; 1) и К(-4; -1).

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;y)$$. Тогда по условию радиус равен $$\sqrt{10}$$, а значит для точек $$M(-2;1)$$ и $$K(-4;-1)$$ выполняется:

$$ (x+2)^2+(y-1)^2=10, $$

$$ (x+4)^2+(y+1)^2=10. $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (x+4)^2+(y+1)^2-(x+2)^2-(y-1)^2=0. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+8x+16+y^2+2y+1-x^2-4x-4-y^2+2y-1=0, $$

$$ 4x+4y+12=0, $$

$$ x+y+3=0, $$

$$ y=-x-3. $$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$ (x+2)^2+(-x-3-1)^2=10, $$

$$ (x+2)^2+(x+4)^2=10. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+4x+4+x^2+8x+16=10, $$

$$ 2x^2+12x+10=0, $$

$$ x^2+6x+5=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=6^2-4\cdot 5=36-20=16, $$

$$ x_{1,2}=\frac{-6\pm 4}{2}. $$

Получаем:

$$ x_1=-5,\quad x_2=-1. $$

Тогда

$$ y_1=-(-5)-3=2,\quad y_2=-(-1)-3=-2. $$

Значит, центры окружностей: $$O_1(-5;2)$$ и $$O_2(-1;-2)$$.

Составим уравнения окружностей:

$$ (x+5)^2+(y-2)^2=10, $$

$$ (x+1)^2+(y+2)^2=10. $$

Ответ

$$ (x+5)^2+(y-2)^2=10,\qquad (x+1)^2+(y+2)^2=10. $$