Упр.349 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Составьте уравнение окружности, радиус которой равен $$\sqrt{10}$$, проходящей через точки $$M(-2; 1)$$ и $$K(-4; -1)$$.

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;y)$$. Тогда по условию радиус равен $$\sqrt{10}$$, а значит для точек $$M(-2;1)$$ и $$K(-4;-1)$$ выполняется:

$$(x+2)^2+(y-1)^2=10,$$

$$(x+4)^2+(y+1)^2=10.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(x+4)^2+(y+1)^2-(x+2)^2-(y-1)^2=0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+8x+16+y^2+2y+1-x^2-4x-4-y^2+2y-1=0,$$

$$4x+4y+12=0,$$

$$x+y+3=0,$$

$$y=-x-3.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$(x+2)^2+(-x-3-1)^2=10,$$

$$(x+2)^2+(x+4)^2=10.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4x+4+x^2+8x+16=10,$$

$$2x^2+12x+10=0,$$

$$x^2+6x+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-5,\quad x_2=-1.$$

Тогда

$$y_1=-(-5)-3=2,\quad y_2=-(-1)-3=-2.$$

Значит, центры окружностей: $$O_1(-5;2)$$ и $$O_2(-1;-2)$$.

Составим уравнения окружностей:

$$(x+5)^2+(y-2)^2=10,$$

$$(x+1)^2+(y+2)^2=10.$$

Ответ

$$(x+5)^2+(y-2)^2=10,\qquad (x+1)^2+(y+2)^2=10.$$