Упр.348 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Составьте уравнение окружности, радиус которой равен $$5$$, проходящей через точки $$С(-1; 5)$$ и $$D(6; 4)$$.

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;y)$$. Тогда по условию радиус равен $$5$$, а точки $$C(-1;5)$$ и $$D(6;4)$$ лежат на окружности.

Запишем уравнение окружности через центр и радиус:

$$(x+1)^2+(y-5)^2=25,$$

$$(x-6)^2+(y-4)^2=25.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+2x+1+y^2-10y+25=25,$$

откуда

$$x^2+y^2+2x-10y=-1;$$

$$x^2-12x+36+y^2-8y+16=25,$$

откуда

$$x^2+y^2-12x-8y=-27.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$14x-2y=26,$$

$$7x-y=13,$$

то есть

$$y=7x-13.$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(x-6)^2+(7x-13-4)^2=25,$$

$$(x-6)^2+(7x-17)^2=25.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-12x+36+49x^2-238x+289=25,$$

$$50x^2-250x+300=0,$$

$$x^2-5x+6=0.$$

Тогда

$$D=25-24=1,$$

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=7\cdot 2-13=1, \qquad y_2=7\cdot 3-13=8.$$

Следовательно, возможны два центра окружности: $$O_1(2;1)$$ и $$O_2(3;8)$$.

Тогда уравнения окружностей:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25,$$

$$(x-3)^2+(y-8)^2=25.$$

Ответ

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25; \qquad (x-3)^2+(y-8)^2=25.$$