Упр.348 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 348. Составьте уравнение окружности, радиус которой равен 5, проходящей через точки С(-1; 5) и D(6; 4).

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;y)$$. Тогда по условию радиус равен $$5$$, а точки $$C(-1;5)$$ и $$D(6;4)$$ лежат на окружности.

Запишем уравнение окружности через центр и радиус:

$$ (x+1)^2+(y-5)^2=25, $$

$$ (x-6)^2+(y-4)^2=25. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+2x+1+y^2-10y+25=25, $$

откуда

$$ x^2+y^2+2x-10y=-1; $$

$$ x^2-12x+36+y^2-8y+16=25, $$

откуда

$$ x^2+y^2-12x-8y=-27. $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 14x-2y=26, $$

$$ 7x-y=13, $$

то есть

$$ y=7x-13. $$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$ (x-6)^2+(7x-13-4)^2=25, $$

$$ (x-6)^2+(7x-17)^2=25. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-12x+36+49x^2-238x+289=25, $$

$$ 50x^2-250x+300=0, $$

$$ x^2-5x+6=0. $$

Тогда

$$ D=25-24=1, $$

$$ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3. $$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$ y_1=7\cdot 2-13=1, \qquad y_2=7\cdot 3-13=8. $$

Следовательно, возможны два центра окружности: $$O_1(2;1)$$ и $$O_2(3;8)$$.

Тогда уравнения окружностей:

$$ (x-2)^2+(y-1)^2=25, $$

$$ (x-3)^2+(y-8)^2=25. $$

Ответ

$$ (x-2)^2+(y-1)^2=25; \qquad (x-3)^2+(y-8)^2=25. $$