Упр.347 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 347. Докажите, что треугольник с вершинами в точках A(-1; -2), B(-1; 2), C(5; 2) является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около этого треутольника.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника:

$$AB^2=(-1-(-1))^2+(2-(-2))^2=0^2+4^2=16,$$

$$BC^2=(5-(-1))^2+(2-2)^2=6^2+0^2=36,$$

$$AC^2=(5-(-1))^2+(2-(-2))^2=6^2+4^2=52.$$

Проверим теорему Пифагора:

$$AB^2+BC^2=16+36=52=AC^2.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ прямоугольный, причём $$\angle B=90^\circ$$.

Так как в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, найдём середину отрезка $$AC$$:

$$x_0=\frac{-1+5}{2}=2,\qquad y_0=\frac{-2+2}{2}=0.$$

Радиус окружности равен расстоянию от центра до любой вершины, например до точки $$C$$:

$$R=\sqrt{(5-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.$$