Упр.345 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) x^2+2x+y^2-10y-23=0;
2) x^2-12x+y^2+4y+40=0;
3) x^2+y^2+6y+8x+34=0;
4) x^2+y^2-4x-14y+51=0;
В случае утвердительного ответа укажите координаты центра и радиус этой окружности.

Уравнение окружности имеет вид $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2,$$ где $$R^2>0.$$ Приведём каждое уравнение к этому виду.

1) $$x^2+2x+y^2-10y-23=0$$

Сгруппируем и дополним до квадратов:

$$\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-10y+25\right)=49,$$

$$\left(x+1\right)^2+\left(y-5\right)^2=49.$$

Это уравнение окружности. Её центр $$(-1;5),$$ радиус $$R=7.$$

2) $$x^2-12x+y^2+4y+40=0$$

Приведём к квадратам:

$$\left(x^2-12x+36\right)+\left(y^2+4y+4\right)=0,$$

$$\left(x-6\right)^2+\left(y+2\right)^2=0.$$

Здесь $$R^2=0,$$ значит это не окружность.

3) $$x^2+y^2+6y+8x+34=0$$

Дополняем до квадратов:

$$\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2+6y+9\right)=-9,$$

$$\left(x+4\right)^2+\left(y+3\right)^2=-9.$$

Правая часть отрицательна, поэтому такое уравнение не задаёт окружность.

4) $$x^2+y^2-4x-14y+51=0$$

Приведём к квадратам:

$$\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-14y+49\right)=2,$$

$$\left(x-2\right)^2+\left(y-7\right)^2=2.$$

Это уравнение окружности. Её центр $$\left(2;7\right),$$ радиус $$R=\sqrt{2}.$$

Ответ

1) Да, центр $$(-1;5),$$ радиус $$7$$.
2) Нет.
3) Нет.
4) Да, центр $$\left(2;7\right),$$ радиус $$\sqrt{2}$$.