Упр.342 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 342. Сколько существует окружностей, проходящих через точку (3; 5), радиусы которых равны 3v6 и центры которых принадлежат оси ординат? Запишите уравнение каждой такой окружности.

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(0;a)$$, так как он лежит на оси ординат. Тогда уравнение окружности с радиусом $$3\sqrt{5}$$ имеет вид

$$x^2+(y-a)^2=45.$$

Так как окружность проходит через точку $$A(3;5)$$, подставим её координаты в уравнение:

$$3^2+(5-a)^2=45.$$

Получаем

$$9+25-10a+a^2=45,$$

$$a^2-10a-11=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(-10)^2-4\cdot 1\cdot(-11)=100+44=144,$$

$$a=\frac{10\pm 12}{2}.$$

Тогда

$$a_1=-1,\qquad a_2=11.$$

Значит, существует две окружности. Их уравнения:

$$x^2+(y+1)^2=45,$$

$$x^2+(y-11)^2=45.$$

Ответ

Две окружности: $$x^2+(y+1)^2=45$$ и $$x^2+(y-11)^2=45$$.