Упр.338 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Докажите, что отрезок АВ является диаметром окружности $$(x-5)^2+(y+4)^2=17$$, если $$A(1; -5)$$, $$В(9; -3)$$.

Найдём длину отрезка $$AB$$ по формуле расстояния между двумя точками:

$$AB^2=(9-1)^2+(-3-(-5))^2$$

$$AB^2=8^2+2^2=64+4=68,$$

значит

$$AB=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.$$

Теперь найдём центр окружности $$\left(x-5\right)^2+\left(y+4\right)^2=17.$$ Его координаты: $$O(5;\,-4).$$

Определим середину отрезка $$AB$$:

$$x_O=\frac{1+9}{2}=5,\qquad y_O=\frac{-5+(-3)}{2}=-4.$$

Середина отрезка $$AB$$ совпадает с центром окружности. Кроме того, радиус окружности равен

$$R=\sqrt{17},$$

а длина отрезка $$AB$$ равна

$$AB=2\sqrt{17}=2R.$$

Следовательно, отрезок $$AB$$ является диаметром данной окружности.

Ответ

$$AB$$ — диаметр окружности.