Упр.323 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 323. Диагональ BD параллелограмма ABCD равна 24 см, точка Е — середина стороны ВС. Найдите отрезки, на которые прямая АЕ делит диагональ BD.
Пусть точка $$M$$ — точка пересечения прямых $$AE$$ и $$BD$$.
Так как $$BC \parallel AD$$, а прямая $$BD$$ — секущая, то
$$\angle CBD=\angle ADB$$
как накрест лежащие углы.
Рассмотрим треугольники $$BME$$ и $$DMA$$.
$$\angle EBM=\angle ADM$$
как углы, образованные параллельными прямыми $$BC \parallel AD$$ и секущей $$BD$$.
$$\angle BME=\angle DMA$$
как вертикальные углы.
Следовательно, $$\triangle BME \sim \triangle DMA$$ по двум углам.
Из подобия получаем:
$$\frac{BM}{DM}=\frac{BE}{AD}$$
Так как $$E$$ — середина стороны $$BC$$, то $$BE=\frac{1}{2}BC$$, а в параллелограмме $$AD=BC$$. Значит,
$$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$$
Следовательно,
$$\frac{BM}{DM}=\frac{1}{2}, \quad DM=2BM.$$
По условию $$BD=24$$ см, значит
$$BM+DM=24.$$
Подставим $$DM=2BM$$:
$$BM+2BM=24$$
$$3BM=24$$
$$BM=8$$
Тогда
$$DM=2\cdot 8=16.$$
Ответ
$$8\text{ см},\ 16\text{ см}$$
