Упр.323 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Диагональ $$BD$$ параллелограмма $$ABCD$$ равна $$24\text{ см}$$, точка $$E$$ — середина стороны $$BC$$. Найдите отрезки, на которые прямая $$AE$$ делит диагональ $$BD$$.

Пусть точка $$M$$ — точка пересечения прямых $$AE$$ и $$BD$$.

Так как $$BC \parallel AD$$, а прямая $$BD$$ — секущая, то

$$\angle CBD=\angle ADB$$

как накрест лежащие углы.

Рассмотрим треугольники $$BME$$ и $$DMA$$.

$$\angle EBM=\angle ADM$$

как углы, образованные параллельными прямыми $$BC \parallel AD$$ и секущей $$BD$$.

$$\angle BME=\angle DMA$$

как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BME \sim \triangle DMA$$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{BM}{DM}=\frac{BE}{AD}$$

Так как $$E$$ — середина стороны $$BC$$, то $$BE=\frac{1}{2}BC$$, а в параллелограмме $$AD=BC$$. Значит,

$$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$$

Следовательно,

$$\frac{BM}{DM}=\frac{1}{2}, \quad DM=2BM.$$

По условию $$BD=24$$ см, значит

$$BM+DM=24.$$

Подставим $$DM=2BM$$:

$$BM+2BM=24$$

$$3BM=24$$

$$BM=8$$

Тогда

$$DM=2\cdot 8=16.$$

Ответ

$$8\text{ см},\ 16\text{ см}$$