Упр.321 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 321. В треугольнике ABC угол C=90°, АВ=9 см, ВС=3 см. На гипотенузе АВ отметили точку М так, что АМ:МВ=1:2. Найдите отрезок СМ.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=9$$ см, $$BC=3$$ см.

Найдём сначала $$BM$$. Так как $$AM:MB=1:2$$, то весь отрезок $$AB$$ состоит из $$3$$ равных частей, значит

$$BM=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}\cdot 9=6.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCM$$. По теореме косинусов:

$$CM^2=BC^2+BM^2-2\cdot BC\cdot BM\cos\angle CBM.$$

Так как точка $$M$$ лежит на гипотенузе $$AB$$, то $$\angle CBM=\angle CBA$$. В треугольнике $$ABC$$

$$\cos\angle CBA=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$CM^2=3^2+6^2-2\cdot 3\cdot 6\cdot \frac{1}{3}=9+36-12=33.$$

Следовательно,

$$CM=\sqrt{33}.$$